Investigador: Roberto Ulloa

Dado un anillo conmutativo local $(R,m)$ y un $R$-ideal de definición $I$, el estudio del comportamiento de la función numérica $F(n)=\lambda_R(R/I^n)$ donde $\lambda_R(-)$ denota longitud, ha sido un problema extensamente estudiado. Sabemos que $F$ es una función de tipo polinomial, de grado $\dim R$, y su coeficiente principal, una vez normalizado se conoce como la multiplicidad de $I$.

Las multiplicidades generalizadas estudian el comportamiento de ciertas funciones numéricas, que generalizan la multiplicidad de ideales. En este proyecto nos vamos a centrar en dos: la épsilon multiplicidad y la multiplicidad relativa. Para la épsilon multiplicidad no asumimos que $I$ es $m$-primario, pero aplicamos el functor $H_m^0(-)$ a los módulos $R/I^n$. Dado un $R$-módulo finito, $H_m^0(M)$ es el submódulo más grande de $M$ que tiene longitud finita. Con esto uno puede estudiar la función $\Lambda_I(n)=\lambda_R(H_m^0(R/I^n))$. En la multiplicidad relativa, dados dos $R$-ideales $J\subseteq I$ de colongitud finita, uno estudia el comportamiento de $\lambda_R(I^n/J^n)$.

La épsilon multiplicidad de ciertas familias de ideales se puede estudiar a través de las multiplicidades relativas [U]. Dado que la función numérica $\lambda_R(I^n/J^n)$ es más sencilla que $\lambda(H_m^0(R/I^n))$, la idea es estudiar la épsilon multiplicidad a través de las multiplicidades relativas. Pocas propiedades se han descrito de ambas multiplicidades. En este proyecto queremos estudiar tres problemas básicos de la teoría de multiplicidades generalizadas: primero, si existe una fórmula de reducción de dimensión para la multiplicidad relativa, es decir dados ideales $J\subseteq I$ de colongitud finita, existen $J_0\subseteq I_0$ de colongitud finita tales que las multiplicidades relativas coinciden, pero la codimensión de $I_0$ es menor a la de $I$, además si la respuesta es positiva, se puede dar una fórmula explícita (or al menos cotas superiores) para la épsilon multiplicidad de curvas monomiales en el espacio 3 afín. Segundo, encontrar una fórmula para la épsilon multiplicidad de ideales monomiales, mediante una posible definición de multiplicidad épsilon mixta y finalmente, si $R$ es un anillo regular local de dimensión $d$, $J\subseteq I$ de colongitud finita con $I$ una intersección completa de codimensión $d-1$, $J$ una casi intersección completa, entonces la multiplicidad relativa, es simplemente la colongitud.

Investigadora: Oscar Zamora Luna

La combinatoria extremal estudia máximos y mínimos de características sobre ciertas familias de estructuras, así como las estructuras en la familia para las cuáles el extremo se alcanza.
Un camino del Tipo Berge de longitud $k$ en un Hipergrafo es una sucesión alternante de $k+1$ vertices y $k$ aristas distintas, de tal forma que dos vértices consecutivos pertenecen a una de las aristas. Se ha determinado previamente el número máximo de aristas en hipergrafos que no contiene caminos de longitud $k$. En este proyecto se pretende resolver el mismo tiempo de Problema para hipergrafos lineares.

Investigadora: Adriana Sánchez

Dada una función continua f sobre una variedad compacta M. Decimos que una medida de probabilidad f-invariante “m” es un estado de equilibrio para f con respecto a un potencial continuo g si satisface que h(m,f)+I(g,m)= sup {h(m’,f)+I(g,m’) tal que m’ es f-invariante} donde h(m,f) es la entropía métrica de f con respecto a m y I(g,m) es la integral de g respecto a la medida m. En el caso que g=0, decimos que m es una medida de máxima entropía.

El objetivo principal de este proyecto es el estudio de estados de equilibrio para funciones no uniformemente hiperbólicas y parcialmente hiperbólicas. Recientemente, en un trabajo conjunto con Régis Varão y Fabián Álvarez estudiamos la existencia y unicidad de estados de equilibrio para Derivados de Anosov (DA) con dimensión central 2. Es decir para mapas parcialmente hiperbólicos actuando em el toro T4 isotópicos a su acción en la homología. Por parcialmente hiperbólico entendemos que el fibrado tangente puede descomponerse como TM = Es + Ec + Eu, donde Es es la parte estable (contracción en la derivada), Eu la inestable (expansión) y Ec es la parte central (contracción y/o expansión más leve). En el trabajo con Régis Varão y Fabián Álvarez nos enfocamos en el caso en que la dimensión de Ec es 2. Una pregunta natural es que sucede cuando consideramos dimensión mayor que 2 o difeomorfismos parcialmente hiperbólicos en general. Para afrontar este problema podemos intentar generalizar la prueba de dimensión central 2, o utilizar herramientas analíticas.

El estudio de estados de equilibrio en un contexto más general tiene su base en el estudio del espectro del operador de Ruelle. Varios trabajos, por ejemplo en el caso hiperbólico (TM = Es + Eu) o de mapas no uniformemente expansivos , se enfocan en mostrar la existencia de un ``spectral gap'' en el espectro del operador de Ruelle para poder mostrar la existencia de un único estado de equilibrio.
Para mostrar la existencia del spectral gap la mayoría de los trabajos se basan de la expansividad de la dinámica. Sin embargo, en el caso parcialmente hiperbólico tenemos una dinámica mixta, por lo que debemos recurrir a otras herramientas. En el área de ecuaciones diferenciales parciales se utiliza teoremas espectrales para mostrar la existencia de spectral gap en operadores diferenciales (como por ejemplo el de Boltzmann ) y así garantizar la existencia y unicidad de soluciones del sistema. Inspirados en esta técnica queremos estudiar el espectro del operador de Ruelle de una dinámica parcialmente hiperbólica o no uniformemente hiperbólica, para un cierto conjunto de potenciales.

Investigador: Dr. Marco Antei

El objetivo principal de este proyecto será el estudio de esquemas en grupos, fibrados vectoriales, torsores y sus armónicas relaciones.

Investigador: Dr. Hugo Hidalgo León

El proyecto integra un equipo de investigación interdisciplinaria que busca la exploración de algoritmos de aprendizaje automático utilizando datos disponibles de las instituciones del Estado, tales como: Ministerio de Salud de Costa Rica (MSCR), la Caja Costarricense de Seguro Social (CCSS) y otras instituciones públicas donde exista disponibilidad de información relacionada con enfermedades de transmisión vectorial.

La conexión entre este tipo de enfermedades y factores climáticos, ambientales y socioeconómicos ha sido explorada previamente. Sin embargo, los factores específicos (datos históricos) que afectan a la población costarricense aún no se han abarcado desde un aspecto de modelación matemática. El comportamiento histórico de las enfermedades en cuestión, así como su interacción con diversas variables, servirán como entrada y entrenamiento para los algoritmos de aprendizaje automa´tico, permitiendo que el sistema aprenda, y así determinar los factores más importantes, la posible previsibilidad de los brotes y las consecuencias de implementar diferentes estrategias de prevención. Esto, para desarrollar herramientas adaptadas para predecir y, por lo tanto, implementar mejores prácticas de medidas preventivas y asignación de recursos en el país. El aumento en la disponibilidad de datos y el desarrollo reciente de herramientas matemáticas y estadísticas, permite explorar el problema de la propagación de enfermedades infecciosas desde nuevos enfoques.

Investigador: Dr. Luis Barboza Chinchilla

Este proyecto desarrollará un modelo espacio-temporal que sea computacionalmente eficiente en el caso de datos grandes, a través de aproximaciones en la estructura de covarianza de los algunos de sus componentes. Además aplicaremos el modelo propuesto en al menos uno de dos casos reales con datos climáticos.

Investigador: Dr. Oldemar Rodríguez

Para métodos no supervisados, en este proyecto se pretende generalizar al caso simbólico varios métodos de regresión clásica, como son el método CART, Métodos de Potenciación y Bosques Aleatorios. También se pretende generalizar al caso simbólico el Método de Análisis Factorial de Correspondencias Múltiples, particularmente para el caso de variables modales multi-evaluadas. En el caso de métodos supervisados se pretende generalizar el método CART para variables de tipo intervalo y variables de tipo histograma. Finalmente, todos estos nuevos métodos serán incluidos en nuevas versiones del paquete RSDA y publicadas en el CRAN.

Investigador: Dr. José Rosales Ortega

Históricamente se ha trabajado suponiendo que $G$ es un grupo de Lie simple no compacto, conexo , y con centro trivial y $X_G$ el espacio simétrico asociado a $G$. Si $X_G$ no es un espacio hiperbólico real o complejo, se tiene que el teorema de aritmeticidad de Margulis y los resultados de súper rigidez de Corlette y Gromov-Schoen aseguran la aritmeticidad del grupo fundamental de cocientes de volumen finito de $X_G$:: Cada cociente de volumen finito de $X_G$ es difeomorfo a una clase doble $\Gamma \ G / K$, donde $K$ es un subgrupo maximal de $G$ y $¿Gamma$ es un retículo aritmético de $G$.

Tales clases dobles son conocidas como variedades aritméticas y proveen una muy interesante y gran familia de espacios Riemannianos. Más generalmente, se puede dar una definición de variedad aritmética: Una variedad $M$ se llama aritmética si es difeomorfa a una clase doble $\Gamma \L/ K $ donde $L$ es un grupo de Lie semisimple con cetro finito, $K$ es un subgrupo compacto de $L$ y $\Gamma$ es un retículo aritmético de $L$.
En un trabajo titulado: Arithmeticity of Holonomy groups of Lie Foliations, J. Amer. Math. Soc 1 (1988), no. 1, 35- 58 , Zimmer probó que sobre una variedad compacta una foliación con una hoja densa, con una métrica Riemanniana y con una estructura transversal de Lie debe poseer un grupo de Holonomía aritmético. Este resultado fue generalizado en el trabajo titulado Arithmeticity of totally geodesic Lie foliations with locally symmetric leaves. Asian J. Math. 12 (2008), no. 3, 289-297 por Raúl Quiroga-Barranco.
Es conocido que foliaciones Riemannianas totalmente geodésicas con una hoja densa sobre una variedad Riemanniana completa y de volumen finito y donde las hojas son isométricamente cubiertas por un espacio simétrico irreducible de tipo no compacto es aritmética, en el caso de un grupo de Lie simple. El caso semisimple, hasta donde tenemos conocimiento, no ha sido estudiado, y esto nos fue comunicado por el matemático Raúl Quiroga-Barranco.

En un proyecto previo probamos que la foliación normal asociada al espacio de órbitas de la acción de un grupo de Lie semisimple sobre una variedad Riemanniana era integrable y además sus hojas eran totalmente geodésicas. Esto se logró utilizando las ecuaciones para una submersión desarrolladas por O´neill en los años 60. Ver el artículo Foliation by G-orbits. Bol. Soc. Paran. Mat. (3 series) volume 33(2015), 79-87.
En este nuevo proyecto queremos estudiar variedades foliadas (M,F) sobre la que actúa un grupo de Lie semisimple, y probar que F , la foliación asociada a M, bajo ciertas condiciones tiene un naturaleza aritmética, en los términos descritos anteriormente.

Investigadora: Dra. Samaria Montenegro Guzmán

Este proyecto se inscribe en un proyecto más amplio, de desarrollo de la matemática en América Latina, apoyado en los últimos años por el CIMPA (Centre International de Mathématiques Pures et Appliquées) europeo.
La Unión Matemática para América Latina y el Caribe (UMALCA) promueve el desarrollo de la matemática en la región desde su fundación en 1995. En particular, desde 1998 se ha impulsado la organización de escuelas llamadas Escuela de Matemática para América Latina y el Caribe (EMALCA). Las EMALCAs son apoyadas por el CIMPA europeo.
En este proyecto proponemos realizar una EMALCA en el año 2019 en la Universidad de Costa Rica.
Esta escuela abarca dos áreas de la matemática: la lógica matemática y la teoría de números, dos áreas fundamentales de la matemática. Además, en ambas especialidades hay investigadores (as) activos (as) en la Universidad de Costa Rica y en otras partes de América Latina. En las últimas dos décadas se ha experimentado un incremento importante en la interacción entre estas dos áreas, en particular, en aplicaciones de la teoría de modelos a la teoría de números y la geometría aritmética. Un ejemplo de esto ocurre en los recientes avances espectaculares sobre la conjetura de André-Oort, iniciados por la introducción de métodos de o-minimalidad por Jonathan Pila para su estudio, lo cual culminó con la demostración por parte de Jacob Tsimerman en 2015 de la conjetura de André-Oort para el espacio modular Ag de variedades abelianas con una polarización principal. Generalizaciones de esta conjetura conocidas como las conjeturas de Zilber-Pink son también objeto de estudio por medio de esta interacción entre la lógica y la teoría de números. Inicialmente separadas, estas dos áreas de la matemática han conocido un gran auge en los últimos años, gracias en parte a las interacciones entre ellas dos. En particular, han permitido un progreso extraordinario sobre las famosas conjeturas de Zilber-Pink, y otros problemas importantes y difíciles.

Concretamente, nuestro proyecto comienza con la organización de una EMALCA en 2019, para hacer descubrir e incentivar a los estudiantes en estas dos áreas fundamentales de la matemática, mediante cursos básicos en estos temas. Los cursos serán impartidos por investigadores (as) especialistas, principalmente de la región, lo que es sumamente motivador para los estudiantes, y así mismo les permite conocer en parte el panorama de investigación en la región.
Algunos profesores internacionales que probablemente participarán en el evento son:
* Alf Onshuus, de la Universidad de los Andes en Colombia.
* Alexander Bernstein, de la Universidad de los Andes en Colombia.
* Michel Waldschmidt, de la Université Paris 6 en Francia.
En los últimos años, el CIMPA europeo ha apoyado el desarrollo de la teoría de números en América Latina, por medio de varias escuelas CIMPA en esta área. Una escuela tuvo ya lugar en Santiago de Chile en 2012, otra en Perú en 2015. Una tercera tendrá lugar este mes de julio en Argentina, y la siguiente, en febrero 2019 en Uruguay. Posiblemente otra tendrá lugar en Brasil, en el 2021.
Queremos que Costa Rica sea parte de este desarrollo de la teoría de números, y, al mismo tiempo, acercarnos al nivel de lo que ya existe en lógica matemática en otros países de la región, como Colombia.
Esta EMALCA tiene sentido en sí misma. A la vez, pretendemos que estos cursos sirvan de preparación a los estudiantes para las futuras escuelas CIMPA, en particular, a la que se organizará en Costa Rica en el 2020, bajo la misma temática.

Link: EMALCA

Investigador: Dr. José Alexánder Ramírez González

Las leyes de Tracy-Widom (TW) son distribuciones de probabilidad que se han encontrado para matrices aleatorias, procesos de exclusión, percolación de último paso y otros. Por otro lado, se ha conjeturado que tales leyes podrían darse en el contexto de caminatas en medio aleatorio. El trabajo de Barraquand-Corwin (Random-walk in Beta-distributed random environment, Barraquand, G. & Corwin, I. Probab. Theory Relat. Fields (2017) 167: 1057. https://doi.org/10.1007/s00440-016-0699-z) abrió la puerta a este problema mostrando un caso. Sin embargo el modelo propuesto por elloscorresponde a una caminata aleatoria en un medio que es variable con el tiempo y el cual se acomoda para obtener la ley TW. El interés del presente proyecto es encontrar modelos "clásicos", es decir con medio aleatorio constante en el tiempo.

Investigador: Dr. Esteban Segura Ugalde

X^p - A = 0, (1)
donde A es una matriz constante con entradas complejas. Esta matriz X es llamada una raíz p-ésima de A (ver, por ejemplo: [6], [7], [11], [12], [16]). Una aplicación importante y muy conocida de estas raíces p-ésimas es en el cálculo de logaritmos matriciales a través de la siguiente relación (ver [3]): log(A) = p*log(A^(1/p)). Los logaritmos matriciales son de gran importancia en aplicaciones tales como: el estudio y análisis de imágenes medicas (ver [15]), en el diseño de trayectorias para cuerpos rígidos en el espacio 3D (ver [17]), entre otros.
Ahora, en el caso especial en que tengamos que p=2, entonces obtenemos la ecuación matricial: X^2 - A = 0, donde una solución X de (1) es llamada una raíz cuadrada de A. Este problema ha sido extensamente estudiando, dando como resultado muchos métodos para calcular o aproximar X (ver, por ejemplo: [8], [9], [10], [13], [14]). Una parte complicada al desarrollar dichos métodos esta en que, por ejemplo, si A es singular, la existencia de una raíz cuadrada depende de la estructura de Jordan, en particular de los valores propios cero de A (ver [4]). Por lo tanto, el número de raíces cuadradas varía desde dos (para un bloque de Jordan no singular), a infinito (cualquier matriz involutiva es una raíz cuadrada de la matriz identidad). Además, cuando A no tiene valores propios reales positivos, se puede definir la noción de raíz principal, denotada por: A^(1/2). Por otro lado, si A es no singular, siempre tiene al menos una raíz p-ésima.

El método de referencia para el cálculo de raíces cuadradas está basado en la descomposición de Schur: donde se calcula una raíz cuadrada para el factor triangular y luego se transforma de vuelta al problema original (ver [2], [9] para más detalles).
Por otro lado, existen métodos iterativos para calcular las raíces p-ésimas. Por ejemplo, en [8], [10], [12], [13], [14], se estudian diversas variantes del método de Newton para aproximar dichas raíces.
La idea de este proyecto es estudiar un nuevo método para el cálculo de las raíces p-ésimas de una matriz A. Este método se basará en un problema más general, que es el problema de encontrar solventes matriciales de grado p, los cuales están definidos por:
P(S):= S^p +A_{p -1}S^{p-1}+...+A_2S^2 + A_1S + A_0 = 0, (2) donde las matrices A son cuadradas con entradas complejas. Este problema ha sido estudiado en diferentes artículos tales como: [1], [5], [8], [9] y [10], por citar algunos. Por ejemplo, en [1] se utiliza el método de momentos, el cual construye un "pencil" con estructura Hankel, el cual está relacionado al problema (2) y con el que se encuentran los solventes matriciales S, que resulelven dicho problema (para mas detalle ver [1]). Por lo tanto, observando que en el caso especial donde la ecuación (2) cumpla que A_i = 0 para todo i>0, entonces obtenemos el problema (1). Es decir, podemos relacionar los problemas (1) y (2), según los coeficientes A_i. Así, la idea para desarrollar el nuevo método propuesto en este proyecto, es adaptar el método de momentos utilizado en [1] para calcular, de una forma eficiente (por ejemplo considerando la estructura de la matriz o también estudiando su condicionamiento), las raíces p-ésimas a través de los solventes matriciales. Además, utilizando aproximaciones para dichos momentos se espera aproximar dichas raíces de una forma precisa, e incluso se estudiara algún método clásico para refinar estas aproximaciones (como por ejemplo alguna variante del método de Newton).

Investigador: Dr. Rafael Zamora Calero

Dado G un grupo polaco, consideramos el espacio de funciones medibles de f:[0,1]\to G, modulo conjuntos nulos; con la topología de convergencia en medida. Lo denotamos por L^0([0,1],G). Este espacio ha sido recientemente analizado para ver que propiedades topológicas de G mantiene. Queremos analizar bajo que condiciones este grupo, y su producto semi-directo con Aut[0,1] mantienen la propiedad de continuidad automática. Esta propiedad es muy fuerte, e intuitivamente implica que la topología esta codificada en la estructura de grupo. Como la estructura de grupo puede escribirse en primer orden, además queremos aprovechar para hacer un estudio modelo-teórico de grupos topológicos. En particular, queremos ver si dado un modelo topológico, hay alguna relación entre su clasificación de Shelah y sus propiedades topológicas.

Investigadora: Dra. Samaria Montenegro Guzmán

Este proyecto tiene dos partes, una parte se va a desarrollar con el Dr. Alf Onshuus de la Universidad de los Andes en Colombia y la segunda parte con el Dr. Silvain Rideau del CNRS y la Université Paris 7, en Francia. En la primera parte seguiremos el estudio de los grupos definibles en los cuerpos PRC, los primeros resultados de este estudio fueron parte de mi investigación en el post-doctorado y del anterior proyecto de investigación, los resultados obtenidos fueron publicados en [2].

En esta parte estudiaremos los grupos definibles en los modelos de la teorá ODn . La teoría ODn fue definida por Van den Dries en [4] y es la modelo compañera de la teoría de cuerpos con n ordenes. Los modelos de esta teoría son los cuerpos PRC maximales. Esta parte se llevará a cabo con el Dr. Alf Onshuus. La segunda parte se llevará a cabo con el Dr. Silvain Rideau y consta del estudio de los cuerpos regularmente cerrados y regularmente T -cerrados, así como de otras posibles generalizaciones de los cuerpos PAC, PRC y PpC. Los cuerpos regularmente cerrados y regularmente T -cerrados fueron definidos en [1] y en [3] respectivamente. En estos artículos se hace un primer estudio de estos cuerpos, se prueban algunos resultados de densidad topológica respecto a las topologías engendradas por los ordenes y las valuaciones y algunos resultados de existencia. Estos cuerpos no han sido más estudiados desde el punto de vista de la teoría de modelos y en particular desde la inestabilidad. Una primera parte de este proyecto consiste en generalizar algunos de los resultados obtenidos para los cuerpos PRC y PpC al contexto de los cuerpos regularmente cerrados. Las primeras preguntas naturales son:
(1) ¿Cómo se relaciona la clausura algebraica modelo teórica y la clausura algebraica usual ?
(2) ¿Cómo son los conjuntos definibles ?
(3) ¿Es posible encontrar resultados de amalgamación de tipos de alguna forma?
(4) ¿Como se comporta la bifurcación ?
(5) ¿Cual es el nivel de complejidad de esta teoría dentro del universo de Shelah? ¿Es NTP2 o “Strong” ?
La segunda parte del proyecto es generalizar esta clase de cuerpos en donde la relación de ser “pseudo” no depende unicamente de ordenes y valuaciones si no más bien de un conjunto de teorías fijas. Una posible definición de esta nueva teoría la definimos en la sección de metodología y la llamaremos cuerpos PTC.
La primera pregunta natural a responder respecto a los cuerpos PTC es ver si esta clase es axiomatizable y en que lenguaje. Luego, debemos hacernos las mismas preguntas naturales que se hicieron para los cuerpos regularmente cerrados, pero ahora para los cuerpos PTC.
Una etapa posterior que quedaría para un proyecto futuro es analizar grupos definibles en estas clases de cuerpos y entender los imaginarios.

Investigador: Dr. Álvaro Guevara Villalobos

Este proyecto busca modelar las estructuras de dependencia de variables macroeconómicas de influencia en nuestra economía, con el fin de simular escenarios que ayuden a estimar escenarios de estrés para instituciones financieras, a partir del uso de cópulas.
La incorporación de cópulas dentro del análisis permite modelar la interacción conjunta de múltiples factores, permitiendo relaciones de dependencia que generen escenarios más realistas y más útiles para la estimación del riesgo incurrido en un portafolio de inversión o en una cartera crediticia. Este tema es importante porque a partir de estos análisis, las instituciones definen estrategias para generar las reservas necesarias para hacerle frente a escenarios adversos. Estos fondos, si se encuentran sobreestimados, significa menos fondos disponibles para las instituciones para crecer y ofrecer más servicios a la población; una subestimación podría significar una exposición importante para la institución en caso de materializarse ese escenario.

Investigador: Christian Fonseca

Este es un proyecto de investigación en matemática que busca ampliar el conocimiento existence sobre las propiedades de los procesos cilíndricos y el análisis estocástico que se desarrolla utilizándolos como proceso impulsador (o de ruido) de integrales estocásticas y de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (SPDEs por sus siglas en inglés) en el contexto de espacios lineales de dimensión infinita, especialmente Hilbert, Banach y espacios de distribuciones (más generalmente, de los duales de espacios nucleares). La importancia de dicho proyecto radica en la amplia gama de posibles aplicaciones de las SPDEs estudiadas, y el rápido desarrollo a nivel teórico que están teniendo las SPDEs a nivel mundial. Cabe destacar, que el estado actual del conocimiento sobre el análisis estocástico respecto a diversos tipos de semimartingalas cilíndricas que no sean solamente procesos Brownianos cilíndricos aún está en un estado muy preliminar y queda mucho por estudiar.

Dentro de los alcances del proyecto, se espera poder introducir una nueva teoría de integración estocástica respecto a semimartingalas cilíndricas, tanto para espacios de Hilbert (y algunos otros Banach), como para espacios de distribuciones. Una vez desarrollada esa teoría, se pretende estudiar condiciones para la existencia y unicidad de soluciones de SPDEs impulsadas por semimartingalas cilíndricas. Se busca además posteriormente estudiar la convergencia de soluciones de SPDEs impulsadas por algunos tipos de semimartingalas cilíndricas que son frecuentes en aplicaciones.

Investigador: Dr. Jorge Guier Acosta

En [Guier3], el autor introduce una relación de divisibilidad "local", y logra mostrar que la teoría de anillos reticulados convexos en los f-anillos von Neumann regulares real cerrados que además son sc-regulares y divisible proyectables (ver [Guier2] y [Guier1] para estas definiciones o explicación en Antecedentes) es modelo completa en le lenguaje de anillos reticulados junto con una relación radical definida en [Prestel Schwartz] y la relación de divisibilidad local. El problema principal consiste en elucidar si la eliminación de cuantificadores de la teoría mencionada anteriormente se da en el lenguaje en cuestión o si por el contrario habría que extender aún más el lenguaje. También nos interesaremos a la clasificación de estas teorías completas según el universo de Shelah: teorías NIP, NTP2 o NSOPn.

Investigador: Dr. Ronald Bustamante Medina

Se propone clasificar determinar la modularidad de los grupos diagonales de un cuerpo con $n$ derivadas conmutativas y un automorfismo genérico de característica cero.

Investigador: Dr. Mario Villalobos Arias

En este proyecto se pretender continuar estudiando las funciones especiales que se han venido desarrollando en los siguientes proyectos: 821-B3-170 “Análisis y aproximaciones de ciertas Funciones Especiales” y 821 B5-255 “Comportamiento paramétrico de los ceros de ciertas familias de Funciones Especiales”, y como una continuación de estos proyectos surgieron los objetivos de esta propuesta que se espera completar en este nuevo proyecto (la aproximación puntual y global de las funciones de Fresnel generalizadas por las sumas parciales del desarrollo asintótico asociado a partir de las propiedades cualitativas de las curvas asociadas al resto de orden n, el n+1-termino principal y el factor principal de orden n). Estudiar la aproximación puntual y global de las funciones de Fresnel generalizadas por las sumas parciales del desarrollo asintótico asociado a partir de las propiedades cualitativas de las curvas asociadas al resto de orden n, el n+1-termino principal y el factor principal de orden n. Extender las propiedades de monotonia (propiedades de espiral) establecidas para la clotoide (ver ponencia XX SIMMAC) al caso general de la familia FCI, distinguiendo los casos de las curvas $ R_{n,\alpha},$ $ L_{\alpha} T_{n+1,\alpha},$ $ R_{n,\alpha}/ L_{\alpha} T_{n+1,\alpha}$ (que corresponden al resto de orden n, el n+1-termino principal y el factor principal de orden n ).
Encontrar cotas optimas para el error $$ \sup_{s \in (t,\infty)} || R_{n,\alpha}(s)|| ,$$ para valores dados de $n$, $ \alpha$ y el real $t$.
Caracterizar para un real $t$ dado el entero $N(t)$ que minimiza $ || R_{n,\alpha}(t)||, n \in N $ en términos de alguna función de variable real bien definida. Buscar un algoritmo para este problema.

Investigador principal: Dr. Fabio Sánchez Peña

Investigadores (as) asociados: Dr. Luis Barboza Chinchilla

                                                Dr. Juan Gabriel Calvo Alpízar

                                                Dr. Esteban Segura Ugalde                           

                                                Dr. Gilberth Brenes

                                                Dra. Adriana Troyo Nakul 

                                                Dr. Mason Porter

                                                Dr. Filander Sequeira

Este proyecto tiene como objetivo integrar los esfuerzos de un grupo internacional de investigación colaborativa centrado en el estudio de la dinámica adaptiva de las poblaciones de mosquitos y sus hábitats urbanos en Costa Rica. La premisa es la necesidad de comprender la ecología de las especies transmisoras de enfermedades que viven en áreas urbanizadas extensas, que ahora albergan a más del 50% de la población mundial. El estudio prototípico se centrará en la dinámica de población "urbana" de Ae. aegypti, un vector adaptado a las ciudades. Esto canalizará una colaboración internacional que involucrará a investigadores (as) costarricenses, estadounidenses y suizos. El proyecto involucra la identificación y cuantificación de hábitats urbanos naturales y artificiales, y su papel en la dinámica de transmisión de DCZ. El Ministerio de Salud de Costa Rica ha recogido datos desde el 2016 sobre los hábitats de los mosquitos, con el fin de proveer índices que describen la severidad y riesgo de los criaderos encontrados en casas y alrededores. Estos datos servirán de entrada en los modelos matemáticos sobre dinámica adaptiva de Ae. aegypti, así como el rol del movimiento de poblaciones en las dinámicas de DCZ por medio de datos del censo nacional. El objetivo a largo plazo de este proyecto es construir una asociación entre investigadores (as) costarricenses y líderes comunitarios e investigadores (as) internacionales, que construya un marco teórico basado en datos que pueda usarse también para incorporar sistemáticamente la ecología urbana de las poblaciones de vectores tanto en los programas de control de enfermedades como en el estudio de la evolución de las poblaciones de vectores urbanos.

Link: UCREA-CIMPA

Investigador: Dr. Juan Gabriel Calvo Alpízar

Se desea estudiar, analizar e implementar métodos numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Parciales para problemas planteados en los espacios de Sobolev H(grad) y H(rot), definidos como el espacio de funciones L2 integrables cuyos gradientes y rotacionales de sus funciones tienen norma L2 finita. En particular, se tiene interés en estudiar ecuaciones de la forma:
$$\nabla\times ( \alpha\nabla\times u )+B u = f,$$ $$- \nabla\cdot(\rho \nabla u) = f, $$ y el problema de Boussinesq \begin{align*} - \div \mathcal{A} (\nabla u) + ( u \cdot \nabla) u + \nabla p - \varphi g &= 0,\\ \div u &= 0,\\ - \div ( \mathbb{K} \nabla \varphi ) + u \cdot \nabla \varphi &=0, \end{align*} para funciones definidas en algún dominio $\Omega$ en dos o tres dimensiones, con ciertas condiciones de frontera. La primer ecuación, planteada en H(grad), corresponde a la ecuación de Poisson, ejemplo típico para el análisis de nuevos algoritmos de Descomposición de Dominios; la segunda ecuación aparece en diversas aplicaciones, tales como la integración implícita en tiempo de ecuaciones de Maxwell y modelos para corrientes de Foucault; e.g., [1]. La ecuación de Boussinesq describe el fenómeno de convección natural con un sistema no lineal que acopla la ecuación de Navier-Stokes la de advección-difusión (con variables velocidad, presión y temperatura del fluido). Cada una de estas ecuaciones tiene gran importancia a nivel físico y de aplicaciones, por lo que desarrollar teorías sobre existencia, unicidad, cotas del error y aproximaciones numéricas de manera eficiente es de suma relevancia.

El enfoque natural al resolver dichas ecuaciones, es considerar una forma débil mediante integración por partes. Esta última se discretiza mediante una triangulación del dominio y el uso del conocido Métodos de Elementos Finitos (MEF), y más recientemente, mediante el Método de Elementos Virtuales (MEV) [2] (el cual permite manejar elementos poligonales en general). Tal proceso permite obtener un sistema lineal de ecuaciones que debe ser resuelto. Usualmente el número de variables es elevado (del orden de decenas de millones en aplicaciones de mediana escala), y los algoritmos directos, tales como la Eliminación de Gauss o la Factorización de Cholesky, presentan un gran inconveniente en cuanto a tiempo de ejecución y memoria requerida. Además, el número de condición de la matriz crece inversamente proporcional al cuadrado del diámetro de los elementos, lo que dificulta de gran manera el uso de métodos iterativos, cuya convergencia es lenta en el presente caso. El presente proyecto procura utilizar una clase de métodos denominados Descomposicio´n de Dominios. Este concepto se refiere a la construccio´n de precondicionadores para el sistema lineal de ecuaciones. Para ello, el dominio de la EDP se divide en subestructuras, y el problema se reduce a un problema global (con un número pequeño de variables) y un problema local por cada subdominio. Este precondicionador es utilizado para acelerar la convergencia de métodos iterativos, tales como el de Gradiente Conjugado y el de Residuos Generalizados Mínimos (GMRES).

El problema global es necesario, en cuanto permite obtener una cota independiente del número de subdominios para el número de condición del sistema precondicionado, lo que hace que estos algoritmos sean óptimos para ser ejecutados en paralelo. La dificultad de definir problemas globales eficientes se refleja en el hecho de la poca literatura existente para problemas en tres dimensiones, así como pocos resultados con estudios teóricos con subdominios irregulares; ver, e.g., [3,4,5,6]. Métodos en DD incluyen descomposición con traslape (operadores aditivos y multiplicativos relacionados con operadores de Schwarz) y sin traslape (relacionados con complementos de Schur, como el FETI-DP y BDDC). De esta manera, se pretende estudiar literatura existente sobre estos métodos, para considerar variaciones y desarrollar nuevos algoritmos escalables, eficient

Investigador: Dr. Darío Alberto Mena Arias

El proyecto consiste en varios problemas de investigación con una misma línea en común, la cual es la utilización de una familia especial de operadores llamados operadores esparcidos para controlar operadores con estructura generalmente más compleja. De manera general, el problema consiste en, dado un operador $T$ y funciones $f$ y $g$, encontrar si existe una forma bilineal esparcida $\Lambda$, tal que $\langle Tf, g\rangle \lesssim \Lambda(f,g)$.

Los problemas particulares a investigar son los siguientes:
a. Se define el operador de Bochner-Riesz $B_{\delta}^R$, de parámetros R y $\delta > 0$, por medio del multiplicador $$ \widehat{B_{\delta}^R f }(\xi) = (1- |\xi|²/R^2)^{\delta}_{+} \hat{f}(\xi).$$ Para $R$ fijo, ya se logró probar (Lacey, Mena, Reguera) que posee cotas esparcidas. Se desea analizar ahora el operador maximal $$ B_{\delta}^{*} f = \sup_{R > 0} B_{\delta}^R f.$$ Debo indicar que este proyecto es en el que me encuentro trabajando actualmente, por lo tanto una primera parte del proceso bibliográfico y de análisis del problema ya se está realizando.

b. Como se mencionó en el punto anterior, $B_{\delta}^R$ puede ser dominado por medio de formas esparcidas. Se desea analizar este operador desde un punto de vista diferente al empleado, que permita utilizar mejor la estructura geométrica del problema, de tal manera que se pueda acudir a teoría más intrínseca al operador, como lo es la función maximal de Kakeya. Esto con el fin de ampliar el resultado, mejorar las cotas existentes, y poder generar un concepto de técnicas y una nueva definición de forma esparcida que se pueda aplicar a más tipos de multiplicadores de la misma naturaleza.

c. En el ámbito del análisis armónico discreto, se puede considerar el operador definido en $\mathbb{Z}^d$ por $$ Af(x) = \frac{1}{|S|} \sum_{n \in S} f(x -n).$$ Aquí, $S$ denota los puntos de coordenadas enteras pertenecientes a una superficie dada, y $|S|$ denota la cardinalidad de dicho conjunto. Este operador es un promedio discreto sobre dicha superficie. Se conocen cotas esparcidas para el caso en que $S$ es una esfera, e incluso para el operador maximal (sobre el radio) asociado a $Af$. Se desea generalizar el resultado a más superficies, con el fin de encontrar técnicas más generales. En particular se desea estudiar el caso en que $S$ es un paraboloide, para después generalizarlo al caso de las $k$-esferas y formas cuadráticas en general. También se desea completar ciertos resultados existentes para este tipo de operadores, incluyendo el análisis de frontera en términos de las desigualdades débiles obtenidas mediante el control esparcido.

d. También en el área discreta, se desea analizar las integrales singulares fraccionarias en términos de cotas esparcidas. Estos operadores consisten en convolución con un kernel de la forma $|x|^{-\alpha}$, para $0 < \alpha \leq d/2$, para $x \in \mathbb{R^d}$. El análisis de dicho problema, requiere un nuevo enfoque de forma esparcida que dependa del parámetro $\alpha$, y de estudiar cuáles serán las consecuencias en términos de acotación en $L^p$ y qué tipos de pesos satisfacen desigualdades ponderadas.

Investigador: Dr. Adrián Barquero Sánchez

En la Teoría de Números moderna, la búsqueda de relaciones entre objetos geométricos y objetos de índole aritmética es uno de los ejes centrales que guían la investigación. En este proyecto, continuamos y ampliamos la línea de investigación iniciada en el anterior proyecto Pry01-1399-2017 - La conjetura de Colmez y fórmulas de Chowla-Selberg no-Abelianas.

En el anterior proyecto se propuso demostrar una fórmula de Chowla-Selberg para superficies abelianas con multiplicación compleja por cuerpos CM no abelianos de grado 4. Esto fue conseguido con éxito y sus resultados principales se encuentran en el reciente preprint “The Chowla-Selberg formula for CM abelian surfaces”, en conjunto con Riad Masri, el cual puede ser descargado en la dirección http://adrian-barquero.com/research.html. Por otro lado, los resultados demostrados en el artículo “The distribución of G-Weyl CM fields and the Colmez conjecture”, escrito en conjunto con Riad Masri y Frank Thorne, y que es parte de la investigación que se propuso en el proyecto previo, nos abren la posibilidad de estudiar casos de dimensión mayor a 2. En particular, proponemos demostrar formulas de Chowla-Selberg que expresen la altura de Faltings de variedades abelianas con multiplicación compleja de cualquier dimensión (ya no solo restringido a dimensión 2). También, proponemos establecer una fórmula de Chowla-Selberg analítica que exprese los valores CM de cierta función modular de Hilbert que es una generalización de la función Eta de Dedekind para dimensiones más altas que 1 (la función Eta de Dedekind es el caso de dimensión 1). Esta fórmula expresaría los valores CM de la función modular de Hilbert mencionada en términos de la función Gama doble de Barnes, la cual es una versión dos dimensional de la función Gama de Euler clásica.

Finalmente, proponemos establecer una fórmula analítica para expresar unidades de Stark asociadas a ciertas extensiones de cuerpos de números algebraicos que fueron estudiadas por Harold Stark en su famoso articulo de 1975 "L-functions at s = 1. II. Artin L-functions with rational characters" Advances in Mathematics, 17 (1): 60–92.

Investigador principal: Dr. Luis Barboza Chinchilla

En este proyecto se desarrollará una extensión de BMA para modelos de coeficientes espacialmente variables, usando un proceso de doble filtración bayesiana. En segundo lugar, proporcionamos un marco estadístico para desarrollar emuladores estadísticos multi-escala.

Investigador: Dr. Oldemar Rodríguez Rojas

Este proyecto es parte del marco general de los modelos predictivos cuyo objetivo general es predecir el comportamiento futuro de una variable cualitativa o cuantitativa. Los datos utilizados en un problema predictivo se presentan en la forma de individuos caracterizados por variables. Un individuo es una entidad que representa un objeto de estudio que puede ser una persona, organización, entre otros. Varios trabajos han realizado para generalizar los métodos predictivos al caso de datos simbólicos, este tipo de datos es utilizado para caracterizar el individuos que pueden ser clases o categorías de personas o conceptos. Los valores de las variables simbólicas pueden ser conjuntos, intervalos o histogramas. Se han realizado sobre generalizaciones de los árboles decisión al caso de variables simbólica, entre otros, podemos citar los siguientes ([Périnel, 1996], [Granel y Diday 2001], [Aboa, 2002], [Limam 2005], [Nasser-Seck, 2012], entre otros).

En este proyecto se van a generalizar al caso de datos simbólicos algunos métodos predictivos que son muy utilizados actualmente. Continuaremos en este proyecto la generalización de algunos modelos de regresión al caso de datos de tipo intervalo, inciando con la generalización de los métodos de regresión sobre las componentes principales (Principal Components Regression). Para esto, primero trabajaremos en la generalización del Análisis en Componentes Principales sobre Curvas Superficiales propuesto en [Hastie, 1984] y [Hastie y Weingessel, 2014] al caso de datos de tipo intervalo. Luego trabajaremos en un método de construcción de árboles de decisión para el caso en el que la variable a predecir y las variables predictoras son todas variables simbólicas. Finalmente generalizaremos, basados en este método para árboles simbólicos, nuevos métodos impulso (ada-boosting) y bosques aleatorios (ramdom forests) para variables simbólicas, además se propondrán técnicas de validación e interpretación de estos nuevos modelos predictivos para variables simbólicas.
Por otra parte, en este proyecto se continuará el desarrollo y mantenimiento del paquete “RSDA: An R Package for Symbolic Data Analysis” [Rodríguez, 2014]. Paquete implementado en el lenguaje R y cuyo objetivo es poner a disposición de la comunidad científica internacional una parte importante de los métodos desarrollados hasta fechas recientes en el campo del Análisis de Datos Simbólico

Investigador: Dr. Mario Villalobos Arias

Organización de un simposio internacional de matemática educativa, que permita a un grupo de docentes universitarios, de secundaria e investigadores (as), dar a conocer sus trabajos y contribuir a la formación de estos investigadores (as) así como la retroalimentación de la temática.

Link: SIME

Investigador: Dr. Mario Villalobos Arias

El SIMMAC se organiza en Costa Rica desde el año 1978 y se ha convertido en el prinicipal congreso regular en matemática en la región centroamericana, las últimas ediciones reunieron a más de 200 invetigadores de unos 30 países en cada una. Nació como una actividad orientada a la temática de la Estadística y el Análisis de Datos. En esa primera ocasión se llamo “Simposio de Métodos Estadísticos Aplicados a las Ciencias” y conto con 2 expositores principales: el Dr. Jacques Badia, del Instituto Nacional de Investigación en Agronomía, y el Dr. Yvez Schektman, de la Universidad Paul Sabatier, ambos de Toulouse, Francia, cuyos gastos fueron sufragados por la Embajada de Francia. De la parte costarricense participaron unas 12 personas de la Escuela de Matemática y de la Escuela de Estadística. Además, hubo algunas exposiciones de profesores locales, como el Dr. Jorge Poltronieri. Se publicó el libro de memorias del simposio unos meses después de realizado.

El SIMMAC tiene los siguientes objetivos específicos los cuales se cumplen en cada edición que se realiza:
• Divulgar avances científicos en análisis de datos y optimización.
• Ampliar vínculos entre investigadores (as) nacionales y extranjeros.
• Ensanchar vínculos internacionales con otras universidades.

Link: SIMMAC

Investigador: Dr. Javier Trejos Zelaya

La Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, inició en setiembre de 1994 con el establecimiento de un Consejo Editorial con miembros de la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica, así como miembros de las Escuelas de estadística y Economía y del Instituto Tecnológico de Costa Rica, y con miembros extranjeros de universidades de reconocido prestigio internacional.

Link: La Revista de Matemáticas

Investigador: Dr. José Alexánder Ramírez González

Este proyecto brindará soporte a los investigadores (as) del centro, los cuales requieren colaboración en el desarrollo de la investigación. los estudiantes ayudarán en la programación y edición de textos especializados en Matemática, con ello el investigador podrá designar mayor tiempo en la investigación y prueba de resultados.